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Vorlesungsreihe: Technischer Ausbau – Übungen

  • Ein Staubsauger im Hörsaal: vom Messwert zum dB(A)

    Ein Staubsauger läuft im Hörsaal, einmal in 1 m, einmal in 10 m Abstand vom Messgerät, und zwischendurch wird nur der leere Saal gemessen. Am Ende stehen zwei Zahlen: ein Gesamtpegel ohne Bewertung und einer in dB(A). Dazwischen liegt eine Rechnung, die alle Grundregeln des Rechnens mit Pegeln an einem Beispiel zeigt.

    Die erste Übung im Technischen Ausbau bei Matthias Schuß (TU Wien) verlangt genau diesen Weg. Die Zahlen in diesem Beitrag sind neutrale Beispielwerte, keine Abgabedaten.

    Warum dreimal gemessen wird

    Eine einzelne Messung kann zufällig günstig oder ungünstig ausfallen. Deshalb wird jede Situation dreimal gemessen, jeweils in mehreren Frequenzbändern. Das Messgerät zerlegt den Schall in Oktavbänder, etwa von 31,5 Hz bis 16 000 Hz, und gibt für jedes Band einen äquivalenten Dauerschallpegel aus.

    Drei Situationen ergeben drei Spektren: das Grundgeräusch des Saals, der Staubsauger nah und der Staubsauger fern. Das Grundgeräusch ist wichtig, weil es zeigt, ob die Quelle überhaupt deutlich darüber liegt.

    Energetisch mitteln statt rechnen wie gewohnt

    Die drei Messwerte eines Bandes werden zu einem Mittelwert zusammengefasst. Dabei gilt dieselbe Regel wie bei der Pegeladdition: Dezibel werden nie direkt gemittelt. Jeder Wert wird zuerst in Energie umgerechnet, die Energien werden gemittelt, das Ergebnis wird wieder logarithmiert.

    $$L_m = 10 \cdot \lg \left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 10^{L_i/10} \right]$$

    Ein Beispiel bei 500 Hz mit den Werten 62,0 dB, 65,0 dB und 63,5 dB:

    • \(10^{6{,}20} = 1{,}585 \cdot 10^6\)
    • \(10^{6{,}50} = 3{,}162 \cdot 10^6\)
    • \(10^{6{,}35} = 2{,}239 \cdot 10^6\)
    • Summe \(6{,}986 \cdot 10^6\), geteilt durch 3 ergibt \(2{,}329 \cdot 10^6\)
    • \(10 \cdot \lg(2{,}329 \cdot 10^6) = 63{,}7\) dB

    Das arithmetische Mittel wäre 63,5 dB. Der energetische Mittelwert liegt höher, weil der lauteste Wert mehr Energie beiträgt. Je stärker die Messungen streuen, desto größer wird der Unterschied.

    Wie die A-Bewertung das Spektrum verschiebt

    Die A-Bewertung passt jedes Band an die Empfindlichkeit des Ohrs an. Auf der Dezibel-Skala wird dazu ein Korrekturwert addiert. Tiefe Bänder werden stark abgesenkt, bei 125 Hz um 16,1 dB, bei 500 Hz um 3,2 dB. Bei 1000 Hz ist die Korrektur null, bei 4000 Hz kommt 1,0 dB hinzu. Aus 63,7 dB bei 500 Hz werden so 60,5 dB(A).

    [Abbildung: Spektrum eines Staubsaugers, unbewertet und A-bewertet übereinander, mit den Korrekturwerten pro Band.]

    Vom Spektrum zum Gesamtpegel

    Der Gesamtpegel entsteht durch energetische Summe über alle Bänder. Ein vereinfachtes Beispiel mit drei Bändern zeigt den Unterschied zwischen beiden Werten:

    • 125 Hz: 60 dB, A-bewertet 43,9 dB(A)
    • 1000 Hz: 55 dB, A-bewertet 55,0 dB(A)
    • 4000 Hz: 50 dB, A-bewertet 51,0 dB(A)

    Unbewertet ergibt die Summe \(10 \cdot \lg(10^{6{,}0} + 10^{5{,}5} + 10^{5{,}0}) = 61{,}5\) dB. A-bewertet ergibt sie \(10 \cdot \lg(10^{4{,}39} + 10^{5{,}50} + 10^{5{,}10}) = 56{,}7\) dB(A). Der lineare Wert wird vom lautesten, tiefen Band bestimmt. Im A-bewerteten Wert dominiert das Band bei 1000 Hz, weil das tiefe Band stark abgeschwächt wird.

    Daraus folgt eine allgemeine Einsicht. Eine Quelle mit viel tieffrequenter Energie erscheint in dB(A) deutlich leiser als in unbewerteten Dezibel. Für die Beurteilung von Bauteilen gegen tieffrequenten Lärm reicht der A-bewertete Einzahlwert deshalb nicht aus.

    Was Grundgeräusch und Abstand verraten

    Der Vergleich der drei Situationen prüft die Messung selbst. Liegt die Quelle in einem Band kaum über dem Grundgeräusch, misst das Gerät dort vor allem den Saal. Der Abstand zeigt, wie stark der Pegel abnimmt. Im Freien wären es bei einer punktförmigen Quelle 20 dB von 1 m auf 10 m. Im geschlossenen Raum nimmt der Pegel weniger ab, weil Reflexionen von Wänden und Decke hinzukommen.

    Für die Rechnung mit dem Taschenrechner lohnt sich eine eigene Funktion für die energetische Summe. Wer sie einmal angelegt hat, rechnet jede weitere Liste von Pegeln in einem Schritt.

    Zusammenfassung

    Aus drei Messungen pro Band wird zuerst ein energetischer Mittelwert gebildet, nicht ein arithmetischer. Die A-Bewertung verschiebt jedes Band um einen festen Korrekturwert und senkt tiefe Frequenzen stark ab. Die energetische Summe über alle Bänder ergibt den linearen und den A-bewerteten Gesamtpegel, die sich bei tieffrequenten Quellen deutlich unterscheiden.

  • Wenn die Wand mithört: Flankenübertragung rechnen

    Eine Trenndecke aus Stahlbeton erreicht im Labor ein bewertetes Schalldämm-Maß von rund 58 dB. Im fertigen Gebäude kommen zwischen den beiden Räumen nur noch 60 dB Standard-Schallpegeldifferenz an, obwohl ein schwimmender Estrich die Decke zusätzlich verbessert. Die fehlende Wirkung geht über die Wände verloren, die oben und unten an die Decke anschließen.

    Die zweite Übung im Technischen Ausbau bei Matthias Schuß (TU Wien) rechnet diese Flankenübertragung vollständig nach. Die Zahlen hier sind neutrale Beispielwerte, keine Abgabevariante.

    Dreizehn Wege durch eine Decke

    Bei einer Trenndecke gibt es einen direkten Weg und für jede der vier Wände drei weitere. Die Wege werden mit zwei Buchstaben bezeichnet. Großbuchstaben stehen für den Senderaum, Kleinbuchstaben für den Empfangsraum, D für das Trennbauteil, F für die Flanke.

    • Dd: durch die Decke
    • Ff: von der Wand oben in die Wand unten, gerade weiter
    • Fd: von der Wand oben in die Decke, um die Ecke
    • Df: von der Decke in die Wand unten, um die Ecke

    Mit vier Flanken ergeben sich 1 + 4 · 3 = 13 Wege. Die Standard-Schallpegeldifferenz entsteht aus ihrer energetischen Summe:

    $$D_{nT,w} = -10 \cdot \lg \left[ \sum_i 10^{-D_i/10} \right]$$

    Zu beachten ist das Minuszeichen. Je kleiner der Wert eines Weges, desto mehr Schall geht über ihn.

    Die Formeln der einzelnen Wege

    Für den Direktweg gilt:

    $$D_{nT,Dd,w} = R_{s,w} + \Delta R - 10 \cdot \lg S_s + 10 \cdot \lg V - 5$$

    Für die Flankenwege gilt:

    $$D_{nT,Ff,w} = \frac{R_{F,w} + R_{f,w}}{2} + \Delta R + K_{Ff} + 10 \cdot \lg V - 10 \cdot \lg l_f - 5$$

    Bei Fd und Df steht anstelle eines der beiden Flankenwerte das Schalldämm-Maß der Decke.

    Das Volumen V ist das des Empfangsraums. Die Kopplungslänge lf ist die Länge der Linie, an der Decke und Wand zusammenstoßen. Das bewertete Schalldämm-Maß der Rohbauteile wird ohne Vorsatzschalen über \(R_w \approx 32{,}4 \cdot \lg m' - 26\) abgeschätzt.

    Das Beispiel: Decke mit 400 kg/m², Rs,w = 58,3 dB, Fläche 20 m². Alle vier Wände mit je 300 kg/m², Rw = 54,3 dB, Kopplungslänge je 5 m, Kreuzstöße. Empfangsraum 50 m³. Auf der Decke liegt ein schwimmender Estrich mit ΔR = 10 dB, die Wände haben keine Vorsatzschalen.

    Welche Vorsatzschale im Weg liegt

    Eine Vorsatzschale verbessert nur die Wege, die durch sie hindurchführen. Bei Ff zählen Vorsatzschalen auf der Wand oben und auf der Wand unten. Bei Fd zählen die Wand oben und die Deckenunterseite. Bei Df zählen die Deckenoberseite und die Wand unten. Liegen zwei Vorsatzschalen im selben Weg, wird die größere Verbesserung voll und die kleinere zur Hälfte angesetzt.

    Im Beispiel liegt der Estrich auf der Deckenoberseite im Senderaum. Er verbessert deshalb Dd und Df um 10 dB, aber weder Ff noch Fd. Ein häufiger Fehler ist, ihn allen Wegen gutzuschreiben.

    Die Verbesserung einer Vorsatzschale folgt aus ihrer Resonanzfrequenz. Liegt diese bei höchstens 80 Hz, gilt laut Normtabelle \(\Delta R_w = 35 - R_w/2\). Zwischen den Tabellenzeilen wird über den Logarithmus der Frequenz interpoliert.

    Was Kij über einen Stoß aussagt

    Das Stoßstellendämmmaß beschreibt, wie stark ein Stoß die Weiterleitung des Körperschalls bremst. Es hängt vom Verhältnis der Massen ab, \(M = \lg(m'_s / m'_f)\), und davon, ob der Schall gerade weiterläuft oder um die Ecke muss. Für einen starren Kreuzstoß gilt geradeaus \(K_{ij} = 8{,}7 + 17{,}1\,M + 5{,}7\,M^2\), um die Ecke \(K_{ij} = 8{,}7 + 5{,}7\,M^2\). An einer Außenwand, wo die Decke nur von einer Seite anstößt, gelten die Formeln des T-Stoßes.

    Im Beispiel ist \(M = \lg(400/300) = 0{,}125\). Daraus folgen KFf = 10,9 dB und KFd = KDf = 8,8 dB. Ist die Decke leichter als die Wand, wird M negativ, und der lineare Term zieht ab. Das Vorzeichen zu verlieren, gilt als typischer Prüfungsfehler.

    Wann die Flanken dominieren

    Mit \(10 \cdot \lg 50 = 17{,}0\) dB und \(10 \cdot \lg 5 = 7{,}0\) dB ergeben sich die Wege:

    • \(D_{Dd} = 58{,}3 + 10 - 13{,}0 + 17{,}0 - 5 = 67{,}3\) dB
    • \(D_{Ff} = 54{,}3 + 0 + 10{,}9 + 17{,}0 - 7{,}0 - 5 = 70{,}2\) dB
    • \(D_{Fd} = 56{,}3 + 0 + 8{,}8 + 17{,}0 - 7{,}0 - 5 = 70{,}1\) dB
    • \(D_{Df} = 56{,}3 + 10 + 8{,}8 + 17{,}0 - 7{,}0 - 5 = 80{,}1\) dB

    Mit vier gleichen Flanken ergibt die energetische Summe DnT,w = 60,0 dB. Das liegt deutlich unter dem Direktweg von 67,3 dB. Der Direktweg trägt nur knapp ein Fünftel der Energie bei. Die größten Anteile kommen über Ff und Fd, also über die Wände, die der Estrich nicht verbessert.

    Die Folgerung für den Entwurf: Eine bessere Decke allein bringt hier wenig. Wirksamer wären Vorsatzschalen auf den Wänden oder schwerere Flanken. Bei einer leichten Decke an schweren Wänden kann es umgekehrt sein, dann dominiert der Direktweg. Erst die Rechnung aller Wege zeigt, wo die Schwachstelle liegt.

    [Abbildung: Schnitt durch Decke und Flanke mit den Wegen Dd, Ff, Fd und Df als farbige Pfeile, Estrich auf der Sendeseite.]

    Zusammenfassung

    Die Standard-Schallpegeldifferenz entsteht aus der energetischen Summe von bis zu dreizehn Wegen durch Trennbauteil und Flanken. Für jeden Weg zählen nur die Vorsatzschalen, durch die er tatsächlich führt, und der Stoß bestimmt mit Kij, ob er gerade oder um die Ecke läuft. Welcher Weg dominiert, hängt vom Verhältnis der Massen ab und zeigt, wo eine Verbesserung wirkt.